Man nehme eine Aufgabe eine Mathematik-Klausur...



... und versuche diese zu lösen... und komme auf verschiedene Dinge!



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Man bemerke:

Als richtige Lösung anerkannt sei die Funktion:


(Graph dieser Funktion ist rot)

Dooferweise habe ich das fast, bei mir steht statt der 4 nur ein 0,235 dran. Wieso? Ich dachte diese additive Konstante wäre frei wählbar. Dooferweise habe ich dabei gar nicht bedacht, dass man vielleicht mal einen x-Wert einsetzen könnte und schaut, was für den y-Wert rauskommt und kuggt, ob der zugehörige Punkt auf dem Graph der Funktion liegt - hatte ich total verplant irgendwie. Des Weiteren dachte ich auch nicht an das Ableiten... den offensichtlichen Tiefpunkt im Punkt Q(2|4) habe ich nicht vermutet. Die ganzen Punkte hab ich vergessen... nur die Asymptoten "gesehen". Dumm gelaufen!


Ich beruhte jetzt eben darauf, dass der Zählergrad immer um 1 größer ist, als der Nennergrad - soweit stimmt das ja auch - allerdings dachte ich, dass einer der beiden Grade damit frei wählbar ist. Abgesehen davon, dass der Nennergrad zumindest ausschließlich für (Polstelle) betrachtet (imo kann man den ggf. noch erweitern.. wer sieht schon Definitionslücken außerhalb des im Graphen dargestellten Intervalls und sind weitere senkrechte Asymptoten nicht auch denkbar.. okay irgendwie tendiere ich gerade zu nein).. denn dann ist der Nennergrad geradzahlig und der Zählergrad ungeradzahlig (weil ja gilt z=n+1). Nach obigem Beispiel gilt das ja alles: n = 2; z = 3!

Also dachte ich mir, wieso soll es das nicht für n > 2 auch geben? Man nehme also an, dass n = 4 (geradzahlig) und damit z = 5 sei!



Dumm di dumm.. wie jetzt p aussieht - da habe ich mir keine großen Gedanken dazu gemacht bisher (es gab Überlegungen, die besagten, p sei nur eine reelle Zahl, könnte aber gegebenenfalls auch eine Polynomfunktion vom Grad z-2 sein.. die schräge Asymptote würde sich nach meinen bisherigen Kentnissen dabei nicht ändern [selbst bei f könnte gegebenenfalls noch ein p = mx + t drinstecken.. wie das mit dem Punkt aussieht bzw. dem Funktionswert, dazu mache man sich mal eben keine Gedanken.. lieber weiter im Text und ein paar Klammern schließen]). "Hahaaa!" dachte sich da der Martin... Klar ich hatte wie oben erwähnt ja ganz vergessen, dass es da die lieben Punkte auf dem Graphen gibt! Man nehme also an, der Punkt Q(2|4) sei wirklich ein Punkt auf dem Graphen, womit f(2) = 4 gilt! Bei obiger Funktion f kann man das ja einsetzen und kommt so auf p = 4! Schön schön dachte ich mir. Das wird dann ja wohl bei meiner Funktion g auch klappen? g(2) einsetzen und p so setzen, dass g(2) = 4 gilt. Klappt auch wunderbar.. damit hätten wir jetzt beispielsweise(?) p = 16 [wenn wir p als reelle Zahl und nicht als Polynomfunktion mit einem Grad > 1 ansehen]. Super..!

Allerdings bekommt man wohl wirklich eine eindeutige Funktion, wenn man noch einen zweiten Punkt einsetzt.. beispielsweise P(1|6). Für f(x) stimmt das wunderbar, für g(x) leider nicht! [Kann man oben auch sehen!] Tja, damit habt entweder ihr mit f(x) gewonnen oder jemand bastelt noch weiter an einem allgemeinen Ansatz und findet heraus, dass es auch eine beliebige (mit obigen Eigenschaften beschriebene) rationale Funktion h(x) gibt. Ich bin jetzt erstmal zu faul... vielleicht hat ja auch jemand Spaß und Freude am Ableiten - so viel erstmal zu dieser Aufgabe.

Meine Funktion sieht jetzt auch nicht sooooo falsch aus (na ja eigentlich doch); wenigstens stimmen die Asymptoten!
Freuen wir uns auf die nächste Klausur. Kleine Bemerkung noch: "der Graf".

Kommentar von Honk (am 23.11.2006 um 14:54 Uhr)
Argumentier doch dass du die Aufgabe garnet lösen konntest bei so einer Aufgabenstellung -> Graf

Ne Möglichkeit noch ne andere Lösung zu bekommen: Die richtige Lösung ableiten und dann eine, von der Lösung verschiedene, Stammfunktion suchen. Probiers doch mal ^^

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